AKU HANYA ANAK DESA
Mimpi datang di saat malam tiba
Menelimuti mata dan pikiranku
Sayuh sayuh aku berlari
Mengejar angan dan cita-cita
Mimpi mimpi bukanlah sekedar buah tidur
Bagiku mimpi adalah lautan harapan
Mimpi adalah kenyataan dalam angan
Mimpi adalah cita-cita yang tersimpan dan butuh jawaban
Mungkin saja aku tak tahu
Apa yang sedang aku alami
Di dalam tidurku saat itu
Namun aku yakin itulah yang harus berarti untuku
Esuk hari aku bangun
Menatap pagi dan hari untuk masa depan
Walaupun aku bukan siapa-siapa
Aku yakin semua dan siapapun akan bisa
Aku hanya seorang anak desa
Hidup di pinggir kemapanan
Bangun ingin bangkit dari keterpurukan
Meraih asa dan impian
Aku hanya anak desa
Belajar menjadi orang yang di idamkan semua
Bertarung dengan praduga
Bercatur dengan hamparan impian
Yakin dan usaha
Buah akan ku raih
Usaha dan yakin
Mimpi akan ku raih
Selasa, 15 Maret 2011
AIR MATA TERAHIR
Untukmu yang aku cinta
Bagimu yang aku sayang
Padamu wahai yang aku sanjung
Telah dating waktu yang terahir
Kedatanganmu dalam hidupku
Tak mungkin aku lupakan
Bayangan dirimu sering berlalu lalang
Menjelmakan baying di depan mataku
Kenangan-kenangan itu seolah dekat
Tak ada sekat sedikitpun
Menembus dua dunia
Menjangkau katulistiwa rasa
Namun aku harus rela
Menepis indahnya kenangan yang kau titipkan itu
Mengikhlaskan kepergianmu
Saat-saat kau pergi jauh dan tak mungkin kembali lagi
Air mata ini terus berkata
Meneriakan rasa hati
Rasa yang semu dalam jiwa
Karena air mata ini yang terakhir
Untukmu yang aku cinta
Bagimu yang aku sayang
Padamu wahai yang aku sanjung
Telah dating waktu yang terahir
Kedatanganmu dalam hidupku
Tak mungkin aku lupakan
Bayangan dirimu sering berlalu lalang
Menjelmakan baying di depan mataku
Kenangan-kenangan itu seolah dekat
Tak ada sekat sedikitpun
Menembus dua dunia
Menjangkau katulistiwa rasa
Namun aku harus rela
Menepis indahnya kenangan yang kau titipkan itu
Mengikhlaskan kepergianmu
Saat-saat kau pergi jauh dan tak mungkin kembali lagi
Air mata ini terus berkata
Meneriakan rasa hati
Rasa yang semu dalam jiwa
Karena air mata ini yang terakhir
Senin, 14 Maret 2011
BILANGAN RASIONAL DAN IRASIONAL
MAKALAH
Disusun Guna Memenuhi Tugas
Mata Kuliah matematika II.
Dosen Pengampu : Kristi Liani M.Pd
FAKULTAS TARBIYAH
INSTITUT AGAMA ISLAM NEGERI WALISONGO
SEMARANG
2011
BILANGAN RASIONAL DAN IRASIONAL
I. PENDAHULUAN
Mata pelajaran matematika adalah mata pelajaran yang isi muatannya berkaitan dengan hitung menghitung. Keadaan ini menuntut setiap orang baik itu anak-anak ataupun dewasa hingga tua sekalipun harus teliti dalam berhitung. Tujuannya adalah agar tidak terjadi kesalahan dalam proses menghitung yang berakibat fatal.
Orang yang mahir matematika bukan berarti karena kebetulan. Untuk menguasai materi matematika di syaratkan mengetahui dan menguasai kajian dasarnya. Selanjutnya dia sering berlatih dengan soal-soal yang berkaitan dengan apa yang sedang di pelajarinya. Sehingga dia bisa menguasai secara benar teori, konsep dan penerapannya untuk mempelajari salah satu disiplin ilmu ini. Oleh karena itu untuk memenuhi tuntutan tersebut, dalam makalah ini di cantumkan uraian singkat tentang bilangan rasional dan irasional.
II. POKOK BAHASAN
A. Pengertian bilangan
B. Pengertian bilangan rasional dan irasional
C. Macam-macam bilangan rasional dan irasional
III. PEMBAHASAN
A. Pengertian bilangan
Bilangan adalah representasi fisik dari data yang diamati. Bilangan dapat dipresentasikan dalam berbagai bentuk, yang kemudian digolongkan pada sebuah system bilangan, tetapi mempunyai arti yang sama . Devinisi ini memberikan gambaran tentang sebuah konsep pengertian bilangan. Dalam hal ini, di nyatakan bahwa kemunculan bilangan di pengaruhi oleh adanya bukti fisik dari data yang bisa di amati. Sehingga secara dangkal salah satu pengertian bilangan di maknai sebagai suatu konsep penyederhanaan bentuk fisik dalam bentuk data – data.
Ada pula yang mendefinisikan bilangan sebagai suatu konsep matematika yang digunakan untuk pencacahan dan pengukuran. Simbol ataupun lambang yang digunakan untuk mewakili suatu bilangan disebut sebagai angka atau lambang bilangan. Dalam matematika, konsep bilangan selama bertahun-tahun lamanya telah diperluas untuk meliputi bilangan nol, bilangan negatif, bilangan rasional, bilangan irasional, dan bilangan kompleks .
B. Pengertian bilangan rasional dan irasional
Di dalam disiplin ilmu matematika bilangan bisa dikatakan dapat dibagi menjadi dua sekup besar yaitu bilangan rasional dan bilangan irasional.
Bilangan rasional adalah bilangan yang dapat dinyatakan sebagai a/b dimana a, b bilangan bulat dan b tidak sama dengan 0.
Devinisi ini selaras dengan pengertian dalam sebuah buku matematika yang di tulis oleh Drs.M. Margha. Beliau mengatakan, bilangan rasional adalah bilangan yang dapat di tulis sebagai z = a/b dengan a, b z dan b 0.
Kalau belum jelas mengenai devinisi di atas lihatlah contoh di bawah ini:
1. Angka 4. Angka ini dapat disusun ulang menjadi .a=4 dan b=1. Jadi, 4 bilangan rasional.
2. Pecahan . Pecahan ini jelas merupakan bilangan rasional, karena a=2 dan b=3.
Kalau menurut kaidah bahasa Indonesia, bilangan irasional adalah bilangan yang tidak rasional. Jadi, kita harus tahu dulu apa itu bilangan rasional. Bilangan rasional adalah bilangan real yang dapat di susun ulang dalam bentuk pecahan a/b dimana a dan b harus integer.
Di katakan pula nahwa bilangan irasional adalah bilangan riil yang tidak bisa dibagi (hasil baginya tidak pernah berhenti). Dalam hal ini, bilangan irasional tidak bisa dinyatakan sebagai a/b, dengan a dan b sebagai bilangan bulat dan b tidak sama dengan nol. Jadi bilangan irasional bukan merupakan bilangan rasional. Contoh yang paling populer dari bilangan irasional ini adalah bilangan π, , dan bilangan e.
Bilangan π sebetulnya tidak tepat, yaitu kurang lebih 3.14, tetapi
= 3,1415926535.... atau
= 3,14159 26535 89793 23846 26433 83279 50288 41971 69399 37510...
Untuk bilangan :
= 1,4142135623730950488016887242096.... atau
= 1,41421 35623 73095 04880 16887 24209 69807 85696 71875 37694 80731 76679 73798..
Sedangkan bilangan selain dari keduanya, baik bilangan rasional dan irasional maka termasuk dalam penggolongan imajiner.
Bilangan imajiner adalah apabilan sebuah bilangan bukan merupakan bilangan nyata( dalam artian bilangan tersebut bukan merupakan bilangan rasional maupun irasional ), maka bilangan tersebut dikatakan imajiner .
Di katakan pula bahwa bilangan imajiner adalah bilangan yang mempunyai sifat i 2 = −1. Bilangan ini biasanya merupakan bagian dari bilangan kompleks. Selain bagian imajiner, bilangan kompleks mempunyai bagian bilangan riil. Secara definisi, (bagian) bilangan imajiner i ini diperoleh dari penyelesaian persamaan kuadratik:
Bilangan adalah bilangan imajiner, bilangan yang tidak real (bilangan yang sesungguhnya tidak ada, karena bilangan negatif tidak bisa diakar . Jadi, jelas kalau bilangan itu tidak termasuk bilangan rasional maupun bilangan irasional
C. Macam-macam bilangan rasional dan irasional
Apabila kita mengatakan bilangan rasional berarti di dalamnya sudah mencakub bilangan-bilangan lain seperti: bilangan bulat, bilangan asli, bilangan cacah, bilangan prima dan bilangan-bilangan lain yang menjadi subset dari bilangan rasional.
Moh. Syamsul hidayat dalam bukunya yang berjudul solusi matematika lengkap membagi bilangan rasional kedalam dua kelompok. Pertama bilangan pecahan, dan yang kedua bilangan bulat. Sedangkan bilangan bulat tersebut terbagi lagi menjadi bilangan bulat negatif dan bilangan cacah. Selanjutnya bilangan cacah mencakup di dalamnya bilangan asli( baik ganjil ataupun genap) dan nol. Terakhir dia menggolongkan bilangan asli itu menjadi bilangan prima dan bilangan komposit.
Bilangan pecahan adalah suatu bilangan yang terdiri dari pembilang dan penyebut. Bentuk pokoknya adalah /b, dengan
a = pembilang ( merupakan bilangan bulat )
b = penyebut ( merupakan bilangan asli )
Jenis-jenis pecahan ada lima. Lihatlah tabel di bawah ini :
Bilangan bulat adalah semua bilangan yang terdiri dari bilangan cacah (0, 1, 2, ...) dan negatifnya (-1, -2, -3, ...; -0 adalah sama dengan 0 dan tidak dimasukkan lagi secara terpisah).
Bilangan bulat juga sering di devinisikan sebagai bilangan yang bukan pecahan, yang meliputi ; bilangan bulat positif (bilangan asli 1,2,3…., dst), bilangan nol yaitu 0, dan bilangan bulat negatif ( bilangan yang nilainya berlawanan dengan bilangan bulat positif; 1,2,3,4….., dst) .
Bilangan cacah adalah himpunan bilangan bulat yang tidak negatif, yaitu {0, 1, 2, 3 ...}. Dengan kata lain himpunan bilangan asli ditambah 0. Jadi, bilangan cacah harus bertanda positif.
Sehingga dapat di simpulkan bahwa bilangan cacah merupakan bilangan bulat positif yang di awali dari angka nol.
Dalam matematika, terdapat dua kesepakatan mengenai himpunan bilangan asli. Yang pertama definisi menurut matematikawan tradisional, yaitu himpunan bilangan bulat positif yang bukan nol {1, 2, 3, 4, ...}. Sedangkan yang kedua definisi oleh logikawan dan ilmuwan komputer, adalah himpunan nol dan bilangan bulat positif {0, 1, 2, 3, ...}.
Bilangan asli merupakan salah satu konsep matematika yg paling sederhana dan termasuk konsep pertama yang bisa dipelajari dan dimengerti oleh manusia, bahkan beberapa penelitian menunjukkan beberapa jenis kera juga bisa menangkapnya.
Bilangan prima adalah bilangan asli yang lebih besar dari 1, yang faktor pembaginya adalah 1 dan bilangan itu sendiri. 2 dan 3 adalah bilangan prima. 4 bukan bilangan prima karena 4 bisa dibagi 2. Sepuluh bilangan prima yang pertama adalah 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23 dan 29.
Jika suatu bilangan yang lebih besar dari satu bukan bilangan prima, maka bilangan itu disebut bilangan komposit.
IV. KESIMPULAN
Di dalam disiplin ilmu matematika bilangan dapat dibagi menjadi dua sekup besar yaitu bilangan rasional dan bilangan irasional.
Bilangan rasional di dalamnya mencakub bilangan-bilangan lain seperti: bilangan bulat, bilangan asli, bilangan cacah, bilangan prima dan bilangan-bilangan lain yang menjadi subset dari bilangan rasional.
V. PENUTUP
Demikian tadi makalah yang dapat kami buat. Kami menyadari bahwa makalah tersebut pasti masih jauh dari sempurna . Maka dari itu kritik dan saran yang membagun dari para pembaca selalu kami nantikan demi terwujudnya makalah yang lebih baik
DAFTRAR PUSTAKA
Kusuma, Irwan, Rahasia Matematika Untuk Sd Kelas 4-5-6 Grafika Mulia
Hidayat , Moh. Syamsul, Solusi Matematika Lengkap Untuk Sd Kelas 3,4,5,6 Surabaya: APOLLO , 2007
http://handono-eksak.blogspot.com/2007/12/bilangan.html3/9/2011 3:17:02 AM
http://wapedia.mobi/id/Angka3/9/2011 10:27:09 PM
http://id.wikipedia.org/wiki/Bilangan_rasiona l 3/5/2011
http://id.shvoong.com/social-sciences/education/2068232-pengertian-bilangan/3/9/2011 10:24:46 PM
MAKALAH
Disusun Guna Memenuhi Tugas
Mata Kuliah matematika II.
Dosen Pengampu : Kristi Liani M.Pd
FAKULTAS TARBIYAH
INSTITUT AGAMA ISLAM NEGERI WALISONGO
SEMARANG
2011
BILANGAN RASIONAL DAN IRASIONAL
I. PENDAHULUAN
Mata pelajaran matematika adalah mata pelajaran yang isi muatannya berkaitan dengan hitung menghitung. Keadaan ini menuntut setiap orang baik itu anak-anak ataupun dewasa hingga tua sekalipun harus teliti dalam berhitung. Tujuannya adalah agar tidak terjadi kesalahan dalam proses menghitung yang berakibat fatal.
Orang yang mahir matematika bukan berarti karena kebetulan. Untuk menguasai materi matematika di syaratkan mengetahui dan menguasai kajian dasarnya. Selanjutnya dia sering berlatih dengan soal-soal yang berkaitan dengan apa yang sedang di pelajarinya. Sehingga dia bisa menguasai secara benar teori, konsep dan penerapannya untuk mempelajari salah satu disiplin ilmu ini. Oleh karena itu untuk memenuhi tuntutan tersebut, dalam makalah ini di cantumkan uraian singkat tentang bilangan rasional dan irasional.
II. POKOK BAHASAN
A. Pengertian bilangan
B. Pengertian bilangan rasional dan irasional
C. Macam-macam bilangan rasional dan irasional
III. PEMBAHASAN
A. Pengertian bilangan
Bilangan adalah representasi fisik dari data yang diamati. Bilangan dapat dipresentasikan dalam berbagai bentuk, yang kemudian digolongkan pada sebuah system bilangan, tetapi mempunyai arti yang sama . Devinisi ini memberikan gambaran tentang sebuah konsep pengertian bilangan. Dalam hal ini, di nyatakan bahwa kemunculan bilangan di pengaruhi oleh adanya bukti fisik dari data yang bisa di amati. Sehingga secara dangkal salah satu pengertian bilangan di maknai sebagai suatu konsep penyederhanaan bentuk fisik dalam bentuk data – data.
Ada pula yang mendefinisikan bilangan sebagai suatu konsep matematika yang digunakan untuk pencacahan dan pengukuran. Simbol ataupun lambang yang digunakan untuk mewakili suatu bilangan disebut sebagai angka atau lambang bilangan. Dalam matematika, konsep bilangan selama bertahun-tahun lamanya telah diperluas untuk meliputi bilangan nol, bilangan negatif, bilangan rasional, bilangan irasional, dan bilangan kompleks .
B. Pengertian bilangan rasional dan irasional
Di dalam disiplin ilmu matematika bilangan bisa dikatakan dapat dibagi menjadi dua sekup besar yaitu bilangan rasional dan bilangan irasional.
Bilangan rasional adalah bilangan yang dapat dinyatakan sebagai a/b dimana a, b bilangan bulat dan b tidak sama dengan 0.
Devinisi ini selaras dengan pengertian dalam sebuah buku matematika yang di tulis oleh Drs.M. Margha. Beliau mengatakan, bilangan rasional adalah bilangan yang dapat di tulis sebagai z = a/b dengan a, b z dan b 0.
Kalau belum jelas mengenai devinisi di atas lihatlah contoh di bawah ini:
1. Angka 4. Angka ini dapat disusun ulang menjadi .a=4 dan b=1. Jadi, 4 bilangan rasional.
2. Pecahan . Pecahan ini jelas merupakan bilangan rasional, karena a=2 dan b=3.
Kalau menurut kaidah bahasa Indonesia, bilangan irasional adalah bilangan yang tidak rasional. Jadi, kita harus tahu dulu apa itu bilangan rasional. Bilangan rasional adalah bilangan real yang dapat di susun ulang dalam bentuk pecahan a/b dimana a dan b harus integer.
Di katakan pula nahwa bilangan irasional adalah bilangan riil yang tidak bisa dibagi (hasil baginya tidak pernah berhenti). Dalam hal ini, bilangan irasional tidak bisa dinyatakan sebagai a/b, dengan a dan b sebagai bilangan bulat dan b tidak sama dengan nol. Jadi bilangan irasional bukan merupakan bilangan rasional. Contoh yang paling populer dari bilangan irasional ini adalah bilangan π, , dan bilangan e.
Bilangan π sebetulnya tidak tepat, yaitu kurang lebih 3.14, tetapi
= 3,1415926535.... atau
= 3,14159 26535 89793 23846 26433 83279 50288 41971 69399 37510...
Untuk bilangan :
= 1,4142135623730950488016887242096.... atau
= 1,41421 35623 73095 04880 16887 24209 69807 85696 71875 37694 80731 76679 73798..
Sedangkan bilangan selain dari keduanya, baik bilangan rasional dan irasional maka termasuk dalam penggolongan imajiner.
Bilangan imajiner adalah apabilan sebuah bilangan bukan merupakan bilangan nyata( dalam artian bilangan tersebut bukan merupakan bilangan rasional maupun irasional ), maka bilangan tersebut dikatakan imajiner .
Di katakan pula bahwa bilangan imajiner adalah bilangan yang mempunyai sifat i 2 = −1. Bilangan ini biasanya merupakan bagian dari bilangan kompleks. Selain bagian imajiner, bilangan kompleks mempunyai bagian bilangan riil. Secara definisi, (bagian) bilangan imajiner i ini diperoleh dari penyelesaian persamaan kuadratik:
Bilangan adalah bilangan imajiner, bilangan yang tidak real (bilangan yang sesungguhnya tidak ada, karena bilangan negatif tidak bisa diakar . Jadi, jelas kalau bilangan itu tidak termasuk bilangan rasional maupun bilangan irasional
C. Macam-macam bilangan rasional dan irasional
Apabila kita mengatakan bilangan rasional berarti di dalamnya sudah mencakub bilangan-bilangan lain seperti: bilangan bulat, bilangan asli, bilangan cacah, bilangan prima dan bilangan-bilangan lain yang menjadi subset dari bilangan rasional.
Moh. Syamsul hidayat dalam bukunya yang berjudul solusi matematika lengkap membagi bilangan rasional kedalam dua kelompok. Pertama bilangan pecahan, dan yang kedua bilangan bulat. Sedangkan bilangan bulat tersebut terbagi lagi menjadi bilangan bulat negatif dan bilangan cacah. Selanjutnya bilangan cacah mencakup di dalamnya bilangan asli( baik ganjil ataupun genap) dan nol. Terakhir dia menggolongkan bilangan asli itu menjadi bilangan prima dan bilangan komposit.
Bilangan pecahan adalah suatu bilangan yang terdiri dari pembilang dan penyebut. Bentuk pokoknya adalah /b, dengan
a = pembilang ( merupakan bilangan bulat )
b = penyebut ( merupakan bilangan asli )
Jenis-jenis pecahan ada lima. Lihatlah tabel di bawah ini :
Bilangan bulat adalah semua bilangan yang terdiri dari bilangan cacah (0, 1, 2, ...) dan negatifnya (-1, -2, -3, ...; -0 adalah sama dengan 0 dan tidak dimasukkan lagi secara terpisah).
Bilangan bulat juga sering di devinisikan sebagai bilangan yang bukan pecahan, yang meliputi ; bilangan bulat positif (bilangan asli 1,2,3…., dst), bilangan nol yaitu 0, dan bilangan bulat negatif ( bilangan yang nilainya berlawanan dengan bilangan bulat positif; 1,2,3,4….., dst) .
Bilangan cacah adalah himpunan bilangan bulat yang tidak negatif, yaitu {0, 1, 2, 3 ...}. Dengan kata lain himpunan bilangan asli ditambah 0. Jadi, bilangan cacah harus bertanda positif.
Sehingga dapat di simpulkan bahwa bilangan cacah merupakan bilangan bulat positif yang di awali dari angka nol.
Dalam matematika, terdapat dua kesepakatan mengenai himpunan bilangan asli. Yang pertama definisi menurut matematikawan tradisional, yaitu himpunan bilangan bulat positif yang bukan nol {1, 2, 3, 4, ...}. Sedangkan yang kedua definisi oleh logikawan dan ilmuwan komputer, adalah himpunan nol dan bilangan bulat positif {0, 1, 2, 3, ...}.
Bilangan asli merupakan salah satu konsep matematika yg paling sederhana dan termasuk konsep pertama yang bisa dipelajari dan dimengerti oleh manusia, bahkan beberapa penelitian menunjukkan beberapa jenis kera juga bisa menangkapnya.
Bilangan prima adalah bilangan asli yang lebih besar dari 1, yang faktor pembaginya adalah 1 dan bilangan itu sendiri. 2 dan 3 adalah bilangan prima. 4 bukan bilangan prima karena 4 bisa dibagi 2. Sepuluh bilangan prima yang pertama adalah 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23 dan 29.
Jika suatu bilangan yang lebih besar dari satu bukan bilangan prima, maka bilangan itu disebut bilangan komposit.
IV. KESIMPULAN
Di dalam disiplin ilmu matematika bilangan dapat dibagi menjadi dua sekup besar yaitu bilangan rasional dan bilangan irasional.
Bilangan rasional di dalamnya mencakub bilangan-bilangan lain seperti: bilangan bulat, bilangan asli, bilangan cacah, bilangan prima dan bilangan-bilangan lain yang menjadi subset dari bilangan rasional.
V. PENUTUP
Demikian tadi makalah yang dapat kami buat. Kami menyadari bahwa makalah tersebut pasti masih jauh dari sempurna . Maka dari itu kritik dan saran yang membagun dari para pembaca selalu kami nantikan demi terwujudnya makalah yang lebih baik
DAFTRAR PUSTAKA
Kusuma, Irwan, Rahasia Matematika Untuk Sd Kelas 4-5-6 Grafika Mulia
Hidayat , Moh. Syamsul, Solusi Matematika Lengkap Untuk Sd Kelas 3,4,5,6 Surabaya: APOLLO , 2007
http://handono-eksak.blogspot.com/2007/12/bilangan.html3/9/2011 3:17:02 AM
http://wapedia.mobi/id/Angka3/9/2011 10:27:09 PM
http://id.wikipedia.org/wiki/Bilangan_rasiona l 3/5/2011
http://id.shvoong.com/social-sciences/education/2068232-pengertian-bilangan/3/9/2011 10:24:46 PM
Langganan:
Postingan (Atom)